大家好，欢迎来到 physics latan 的又一个迷你课程。今天我们非常高兴请来了 Monica Guica，她将为我们带来关于黑洞、全息和 T-T bar 的系列四讲。她于2008年在哈佛大学获得博士学位，师从 Andrea Strominger。之后，她在欧洲和美国的多个机构担任博士后职位。2016年，她加入 IPH（理论物理高等研究所）担任研究员，目前正休假在 EPFL（洛桑联邦理工学院）临时任职。 是休假，可能一年或两年，我不确定。她的研究中心是量子引力与全息原理，近期的焦点是它们与场论形变（如 TT bar 和 JT bar）的相互作用，正如你们将在这门课程中看到的。请记得在任何时候有问题都可以举手，现在我把时间交给 Monica。请开始吧。
好的。嗯，非常感谢 Daniel 邀请我来参加这个在线课程，我之前并不知道这个课程，但我认为这是一个非常棒的倡议。实际上，在我来自的东欧，我们一直在考虑做类似的事情，因为人们没有机会接触到这些课程。我非常佩服你们能为拉丁美洲乃至全世界做到这一点。这真的非常酷。嗯，你提到了提问的事情。我非常乐意回答问题，但如果我理解得没错，Daniel 你会负责处理 Zoom 上的事宜。好的，完美。非常感谢。嗯，好的，所以发生了什么呢？
大约一年前，Daniel 联系我，问我是否可以就 TT-bar 和黑洞讲授一系列课程，我当然非常乐意，因为这是我目前最感兴趣的领域。嗯，然而，据我所知，这门课的挑战在于，大多数选课的学生只上过一门广义相对论的课程。是这样吗？特别是，并非所有人都学过量子场论（QFT）。了解一下有多少人没学过 QFT 可能会有帮助，如果他们可以举手的话。我不知道这是如何操作的，另外了解一下也很有用……我会做一个快速投票，好的，太棒了，非常感谢，这样我就能大概了解情况了。无论如何，了解有多少人完全没学过 QFT 会很有用，同样，了解有多少人接触过一点点 CFT（共形场论）也很有用。但不管怎样，我尽量以这样一种方式准备讲座，即你只需要了解广义相对论（GR）就能跟上，但当然，如果你了解得更多，那会更好。
好的。那么，让我试着用最初的五分钟左右来解释一下这个迷你课程将要讲些什么。
第一部分是黑洞，它们是非常美丽且迷人的物体。如你所知，黑洞的特点是，在经典物理中，它只能吸收……哦，非常感谢。嗯，它只能吸收东西，但不能发射任何东西。这是经典层面上的情况，我可以到那边去。这些就是黑洞。
然而，事实证明，当我们引入量子效应时，它们在推动我们对量子引力的理解方面起到了至关重要的作用，它们已经成为我们窥探量子引力的一个窗口。人们尝试理解量子引力已经很多年了，大概有60年左右，从微扰的角度去攻克它非常困难。但黑洞确实为我们揭示量子引力如何运作带来了突破。所以，这里我们有量子引力，而连接这两者的，是一个叫做“黑洞热力学”的学科。我会用缩写 BH 来表示黑洞（black hole），所以是黑洞热力学。也许你们都听说过，黑洞被赋予了一个熵，它与事件视界的面积成正比，除以 $4G$（牛顿常数）和 $\hbar$（普朗克常数）。
那么，这两者之间的联系是什么呢？基本上，你看这个熵正比于事件视界的面积。这表明，构成黑洞的自由度可能生活在视界的表面上。正如我们将在本课程中看到的，对黑洞的研究表明，对于给定区域时空中的量子引力，同样的事情也发生了。自由度……如果我考虑某个带有边界的时空流形上的量子引力，其思想是，这可以被重写、编码为生活在区域边界上的自由度，即一个标准的、不包含引力的量子理论。这种现象，一个被认为是量子引力真正深刻且非凡的特性，被称为全息原理（holography）。
好的。基本上，这个思想是说，我们可以将一个高维时空中的量子引力理论的物理学，仅仅用其边界上的信息来编码。这有点像……好的，这就是它们之间的关系。
这种全息性质被认为是相当普遍的，然而，我们需要让事情具体化，因为作为一个概念，它有些不精确。为此，拥有引力理论与边界理论之间精确的对应关系就非常有用。这样一个真正著名的对应关系的例子就是 AdS/CFT 对应，希望你们都听说过。基本上，在头两节课里，我将回顾黑洞与全息原理之间的这种联系，并会给你们一些关于 AdS 的非常非常基础的概念。
然后，我们这部分介绍的高潮，将是尝试对这个熵——基本上我在这里写下的是一个几何熵——给出一个微观的解释，针对一种特殊的黑洞，即渐近 AdS$_3$ 的黑洞。所以，这是 $D+1$ 维的 AdS 对应于生活在 AdS 边界上的 CFT。课程这部分的高潮将是解释所谓的 BTZ 黑洞的熵。BTZ 黑洞是一个“拉丁美洲”黑洞，作者是智利人。这是展示全息方法力量的一个标准例子。好的。
到目前为止有什么问题吗？我应该问一下。好的。那么，这大概就是第一和第二讲的内容。
然后，我将继续解释全息原理与 TT-bar 之间的关系。但为此，我需要先给你们讲讲这个 TT-bar 是什么。
它的思想是什么呢？思想是，如果我们感兴趣的……嗯，像这个 BTZ 黑洞这样渐近 AdS 的黑洞，它们非常简单，但并不十分现实。所以如果我们对更一般或更现实的黑洞感兴趣，我们就需要研究生活在边界上的理论的推广。我们想要研究 CFT 的推广等等。为了理解需要什么样的推广，我们可以回到 Maldacena 对 AdS/CFT 的最初推导，基本上，他用到的方法是……
那是在弦理论框架下的一个推导。弦理论是一个复杂的理论，它有各种各样的客体。在它拥有的所有客体中，有一类被称为 D-膜（D-branes）。它们就像一些延展的膜。这些客体，如果你在弱耦合下看它们，你应该把它们想象成某个带有耦合常数的理论，你可以把它想成某种杨-米尔斯理论，带有杨-米尔斯耦合常数。在弱耦合时，它们看起来就像一堆膜，上面有一些场，某种规范理论，并且它们也与体（bulk）中的场耦合，它们生活在周围的空间中。这是弱耦合时的图像。在强耦合时，这些家伙实际上看起来像一个黑洞。所以它们在强耦合下的描述是基于一个黑洞的。
当我们把能量降低，这个黑洞开始发展出一个非常非常长的喉道（throat）。所以，AdS/CFT 对应被推导出来的极限，是在我们取非常低的能量的极限下。当你在这个膜的图像中看这个系统时，发生的事情是，在非常低的能量下，这个理论变成了一个共形场论（CFT）。共形场论是一个标度不变的理论。你正在进入比你理论中任何客体的质量都低的能量区域。你最终得到一个标度不变的理论，这就是所谓的共形场论。而在这里，当你进入越来越低的能量时，从这个长喉道的角度来看，具有有限能量的客体，从无穷远处的角度看，会有一个非常非常大的红移。所以你看到的是越来越深地陷入这个喉道中的客体，你正在接近某种视界。而这个喉道是一个 AdS 喉道，这就是你得到 AdS 的方式。
为了理解……好的，如果你只对这个极限或者 AdS 中的黑洞感兴趣，那么你就进入了这个非常低能量的标度极限。现在，如果你对更复杂的东西感兴趣，比如不那么接近极值状态的黑洞等等，那么你就想提高能量。比如你想去到这里。在另一个图像中，你想要在能量上往上走。那么发生的事情是，在理论的膜描述中，你会得到对这个 CFT 图像的修正。这些修正将以无关算符（irrelevant operators）的形式出现。
那么，什么是无关算符？如果你了解场论，你可能知道。这些算符的标度维数，或者说它们的质量维数，大于时空维数 $D$。但如果你想理解它们是什么，它们之所以被称为“无关”，是因为当你进入非常非常低的能量时，它们就好像消失了，它们会标度到零。然而，如果你有兴趣往高能量走，它们就开始变得重要。无论何时你试图封闭（cap off）这些喉道中的一个，这些无关算符就会出现。这只是为了说明，为什么如果你想做超越 AdS/CFT 的事情，你需要研究这些无关算符。
现在，关于 TT-bar 的关键点，为什么从全息的角度人们对它感兴趣，是因为它基本上是一个可解的（solvable）……是的，我应该说，处理一个 CFT 的无关形变基本上是一项无望的任务，因为你在量子场论中根本无法追踪它们。当算符靠近时会出现发散，你必须进行正规化，也许你可以做到一阶、二阶，但再多就不行了，计算会变得完全无法处理，除非你有一个非常聪明的不同方法。
所以，各个社群对这个 TT-bar 感兴趣的原因在于，它是一个可解的无关形变。 啊，你看不到，因为那个投票正在运行。实际上，我的屏幕上什么也看不到。抱歉。你是说我应该这样做吗？这样好些了吗？ 是的，好多了。 好的。那么，我需要重复我刚才说的话吗？ 不不，我可以重复。 好的，基本上，对 TT-bar 形变的大量兴趣在于它是一个二维量子场论（2D QFT）的可解无关形变。它是一个无关形变，你实际上可以计算出一些东西，这是非常罕见的。正如我解释的，从全息的角度，人们对这些无关形变感兴趣，因为我们想摆脱这些 AdS 喉道，想做一些别的事情，一些更一般的事情。
所以，在最后一讲……
提问： 当你说带有 TT-bar 形变的模型是可解的，你是指这个系统是可积的（integrable）吗？
回答： 是的，但它不一定需要是可积的。如果它本身是可积的，TT-bar 会保持其可积性。我明白了。好的。但它不是……TT-bar 是在可积性社群中被发明的，但你并非绝对需要系统一开始就是可积的。它之所以可解，是因为即使对于一个初始不可积的系统，你也可以计算出形变后的有限尺寸能量谱、形变后的热力学、形变后的 S 矩阵，很多东西你都可以精确计算。
提问者： 我明白了。非常感谢。
好的。如果你们有更多问题，请随时提问。好的。
那么，这就是 TT-bar。我会对这个 TT-bar 做一些基本的介绍，并展示所有这些东西。然后我要做的是，这个 TT-bar 引起了很多人的兴趣，因为它在理论物理社群的许多不同角落都有应用。它在 QCD 弦方面有应用。我想 Dubovsky 和 Polyakov 这样最早研究它的人，是在研究 QCD 弦时偶然发现它的。还有可积性社群，像 Smirnov 和 Zamolodchikov 提出这个形变时，他们正在研究可积 bootstrap。但它在全息原理中也有很多应用，而这基本上是我唯一要谈论的，也考虑到你们没有很好的背景知识，很难谈论其他的。好的。
所以我将专注于 TT-bar 的全息应用，并且我将讨论两件事。
第一件事，你可以问以下问题。如果你有 AdS$_3$/CFT$_2$ 对应，TT-bar 是一个二维的形变，所以这是两个边界维度。所以我从 AdS$_3$/CFT$_2$ 开始。然后我对 CFT$_2$ 做 TT-bar 形变。我可以问，引力那一边发生了什么？然后你会看到，发生的事情其实相当简单。我们只是改变了边界条件。我们只是改变了这个 AdS$_3$ 时空的渐近度规的边界条件，但没有发生太多其他事情。一件很好的事情是，你可以真正地做精确全息（precision holography）。就像你为 AdS/CFT 做精确全息一样，你也可以为这个东西做精确全息，并且从时空的角度重现你在 TT-bar 形变后的 CFT 中计算出的许多特征。所以，这是一件很好的事情。我们将讨论这个的全息学。
也许更具雄心的是，这将是更具推测性的，因为它还没有被真正理解。如果……怎么说呢，似乎有一些迹象表明，这种 TT-bar 形变或其某种变体，确实与更一般的黑洞有关，就是我在这里解释的带有这些喉道的黑洞。所以在最后一讲，我会尝试……好的，这并不精确，我自己也不太明白，否则故事就会不一样了，但似乎在比 AdS 黑洞稍微更一般的、带有这种无关喉道的黑洞中，也存在 TT-bar 物理的迹象。所以我将讨论 TT-bar 在这些情况中出现的程度，以及我们有多大希望能够理解这些更一般黑洞熵的微观解释。所以这大概就是计划。
调查结果
在我进入今天的主题——黑洞热力学之前，还有什么问题吗？好的，让我告诉你，60% 的人说他们学过（QFT）。好的，那很好。33% 的人说没学过 QFT，6% 的人学过 CFT。我明白了。好的。那么，非常好。我会尽量讲得简单，但如果我不经意间提到了一些 QFT 的概念，大多数人会理解，我也会解释。这主要是为下次课准备的。好的。非常感谢。
提问： 当你提到这个对应的宏大图景时，特别是你谈到黑洞问题。是否总是这样，当你有一个处于极值状态（extremality）的黑洞时，就会出现这种 AdS 类型的喉道作为几何的一部分？
回答： 是的，所以需要区分 AdS$_2$ 和更高维的 AdS。确实，在极值状态下，如果你取一个处于极值状态的黑洞，你会得到一个 AdS$_2$ 喉道，但事实证明它的行为与高维 AdS 非常非常不同。这是一个非常有趣的故事，在过去不到10年的时间里一直在发展，但这与我这里谈论的高维 AdS 不同，我谈论的是 AdS$_5 \times S^5$ 或 AdS$_3$。在这些情况下，我们实际上需要黑膜（black branes），所以我们实际上需要这里有延展的客体，它们不完全是黑洞，而是黑膜、黑弦之类的。我明白了，好的。所以确实你总是会得到……或者说，通常情况下，如果你有一个黑膜，怎么说呢，有极值状态和超对称。那么，比如说，即使没有超对称，对于五维的黑环或黑弦，你也会有类似的特征吗？嗯，我认为一般的说法是，在极值状态下，你只会得到 AdS$_2$ 和一些其上的纤维丛，在弦的情况下是这样，但实际的几何可能不完全是 AdS$_3$。你可能会得到一个形变的 AdS，某种扭曲的 AdS$_3$。仅仅从极值状态出发。如果你加上超对称，我不知道最精确的陈述是什么，但我想你会得到真正的 AdS。
提问者： 明白了。好的。谢谢你。
还有其他问题吗？好的，如果没有，那么我们进入第一个主题，即黑洞热力学。
那么什么是黑洞热力学呢？嗯，它是一个关于……让我用这个美丽的公式来概括它：
$$ S = \frac{\text{Area}_{\text{horizon}}}{4G\hbar} $$这是黑洞热力学中最著名的公式。它是一个关于引力、量子力学、几何和热力学之间非常深刻和根本的关系。
这个学科主要是在70年代，70年代早期到中期发展起来的。我认为，在介绍它的时候，遵循这个学科的历史发展会很好，至少当我看它的时候，只是为了获得一种直觉，了解人们当时期待什么，以及他们实际发现了什么。我认为这有助于更好地理解黑洞与人们可能的预期相比有多么奇特。
为此，我想从描述 Penrose 关于引力坍缩中奇点形成的必然性的工作开始。我想你们知道，Penrose 在2020年因“证明黑洞的形成是广义相对论的一个稳健预测”而获得了诺贝尔奖。我觉得这个事实有点惊人，因为 Penrose 是一个数学家。他和两位天体物理学家——两位实验物理学家——因为发现黑洞而获得诺贝尔奖。所以我认为他的工作确实影响深远，它不仅影响了黑洞热力学的发展，进而导致了我们即将讨论的非常理论化的量子引力的发展，而且它还表明，黑洞是存在的，并且应该在自然界中无处不在，而这在当时是不为人知的。
所以，我认为这项工作非常酷。实际上在60年代早期，他是在60年代中期开始这项工作的，当时，在60年代早期，人们某种程度上认为黑洞的形成是球对称坍缩的结果，这是可以研究的。然而，如果你试图加入非均匀性之类的东西，许多人认为你实际上不会形成黑洞的奇点。而 Penrose 引入了一种真正新颖的思考问题的方式，成功地证明了事实并非如此。
在我开始描述他的工作之前，我们先来讨论一下，什么是黑洞？也许有人能告诉我什么是黑洞。
观众： 任何有视界的东西？
回答： 抱歉？
观众： 有视界的东西，一个视界。视界的作用是什么？
回答： 如果你在……嗯，我是说……无法逃脱的时空区域，连光都无法逃脱。
回答： 完全正确。很好。
所以它是一个你无法逃脱的时空区域，为了定义“逃脱”这个概念，你必须说出你想逃到哪里去。所以拥有某种渐近无穷远的概念是很有用的，你想逃到那里去。
我不知道你们在课程中是否学过彭罗斯图（Penrose diagrams），但无论如何，如果我尝试画一个由恒星坍缩形成的黑洞的彭罗斯图，它大概是这个样子的。大家知道什么是彭罗斯图吗，还是我需要解释一下？
助教： 是的，他们学过。
回答： 好的，太好了。
所以，这是一个在某个区域渐近平坦的时空。你有一些恒星正在坍缩形成一个黑洞。这里是黑洞奇点。然后你有这个视界，我用黄色画出来。黑洞区域被定义为整个时空流形减去未来类光无穷远的因果过去。好的，所以你有 scri+ 和 scri-，想必你们在课程中学过。所以黑洞是整个时空流形减去 scri+ 的过去，因此你只剩下那边那个小区域。那就是黑洞。而视界是黑洞的边界。
我希望你们从这里理解到的是，根据定义，视界是一个类光超曲面。它基本上追踪的是最后一条仍然能够逃离黑洞并到达无穷远的光线。视界的一个性质，你们可能在课程中学到过，就是你无法在局部探测到它。你不知道你是否在局部越过了它。为了确定视界的位置，你真的需要观察整个时空的未来演化。
好的。清楚了这一点之后，我们来谈谈引力坍缩。为了简单起见，我们将考虑某种球对称恒星的坍缩。你们可能在课程中学过，有一个叫做伯克霍夫定理（Birkhoff's theorem）的东西，它告诉我们，如果你有一个球对称的时空，并且它满足真空方程——也就是在恒星表面之外——那么度规将由史瓦西度规给出。
所以在真空区域外部：
$$ ds^2 = -(1 - \frac{2GM}{r})dt^2 + \frac{dr^2}{1 - \frac{2GM}{r}} + r^2 d\Omega^2 $$在恒星外部，度规由史瓦西度规给出，而在恒星内部，则由其他形式决定。然而，如果你的恒星质量大于大约三倍太阳质量，那么会发生什么呢？那么你基本上知道坍缩是无法被阻止的。如果恒星的质量大约是一倍太阳质量，那么它最终会变成某种白矮星。但如果初始恒星非常大，超过三倍太阳质量，那么坍缩无法被电子或中子的简并压所阻止，这个物体预计会变成一个黑洞。
所以我们将采用这个度规。现在我们将有一个视界，我们将一直延伸到 $r=2GM$，并且我们还想进入视界内部。正如你们在课程中学到的，尽管这个度规在 $r=2GM$ 处看起来是奇异的，但这没有问题，这只是一个坐标奇点。黑洞唯一的真正奇点在 $r=0$ 处。为了能够穿过视界，我们可以转换到所谓的爱丁顿-芬克尔斯坦坐标（Eddington-Finkelstein coordinates）。
为此，我们引入一个叫做“乌龟坐标”（tortoise coordinate）的坐标 $r_*$，使得 $dr_* = dr / (1 - 2GM/r)$。然后我们引入所谓的高级爱丁顿-芬克尔斯坦时间（advanced Eddington-Finkelstein time）$v = t + r_*$。如果你对它积分，会得到 $v = t + r + 2M \log(r - 2M)$。然后用这个坐标，度规看起来会是：
$$ ds^2 = -(1 - \frac{2GM}{r})dv^2 + 2dvdr + r^2d\Omega^2 $$经过一番代数运算后，最终得到这个形式。
这个度规在穿过未来视界时是良好的。现在我想做的是，观察当我接近视界时光锥的行为。也许你们在广义相对论课程中已经做过了，在 Sean Carroll 的书里也有。但好的，我还是会快速过一遍。
助教： 这个其实是作业里做过的。
回答： 好的。那么我会非常快地解释一下。那么是不是所有人都熟悉了？
好的，我画一下。我想画的是这些光锥，你们可能在作业里见过。关键是，如果你看……这是 $t$ 对 $r$ 的图，你从某个半径为 $r_0$ 的球体开始，然后发出一些光线。如果你在平直空间中，你可以考虑一组光线，它们要么从球体向外传播，要么向内传播。在平直空间的 $t-r$ 坐标中，这就是从这个球体发出的内向和外向光线的样子。这里光锋的表面在收缩，而这里光锋的表面在增大。
现在我想把这个从 $t-r$ 坐标转换到 $v-r$ 坐标。因为在平直空间中，$v = t+r$。所以你看，向内的光线 $r-ct$ 是 $v=2r+\text{常数}$，而向外的光线 $r+ct$ 是 $v=\text{常数}$。所以外向光线会是这样的一条线，而内向光线会是这样的一条线。
现在如果我尝试在史瓦西几何中画同样的图，视界在 $r=2GM$ 处。在无穷远处，光锥看起来和平直空间中完全一样。然后当我接近视界时，光锥会越来越倾斜。你可以从度规中看到，一条类光射线满足 $dv=0$，另一条满足 $2dr = (1-2GM/r)dv$。当你穿过视界时，外向的光线会变得垂直，勉强逃逸。而当你进入视界内部后，从这个球体发出的内向和外向的类光射线，它们的光锋都会收缩。在进入之前，只有内向的光线在收缩，现在两者都在收缩。当你接近 $r=0$ 时，你会看到所有这些类光曲线都会在有限的仿射参数内撞击到 $r=0$ 处的奇点。
所以这里发生的事情是，引力场在视界处变得如此强大，以至于它强烈地聚焦光线，使它们都向内传播，都朝向光锋横截面积缩小的方向。正是这种直觉，启发了 Penrose 引入陷阱面（trapped surfaces）的概念，这些面（可以是球面或更一般的面）的特点是，从该表面发出的两组类光射线都在汇聚。
然后你可以引入视 horizon（apparent horizon）的概念，它是包含陷阱面区域的边界。对于史瓦西黑洞，你会发现陷阱面存在于事件视界内部。更一般地，包含陷阱面的区域——其边界被称为视 horizon——位于事件视界内部，并且有一个非常好的性质，就是你可以在局部检验它。不像真正的事件视界，我一直在抱怨你需要等待整个时空历史展开才能确定它的位置，视 horizon 你可以在局部确定。你只需观察测地线，看它们是否都在汇聚，然后你就找到了一个陷阱面。
陷阱面的概念是 Penrose 证明的奇点定理的基础，这些定理表明奇点在引力坍缩中是普遍形成的。
为了解释这个概念，我需要快速推导一下雷乔杜里方程（Raychaudhuri's equation）。你们在课程中学过雷乔杜里方程吗？
观众： 没有。
回答： 好的。那么我会讲得慢一点。
这个方程是什么呢？它基本上是一个几何方程，告诉我们一些曲线彼此之间是如何表现的。我们考虑一组曲线，比如一些类时测地线。它们相切于一些填充时空且不相交的曲线。这些曲线有一个参数 $\tau$，不同的线由参数 $s$ 标记。我们有一个正交的偏离矢量 $\eta^\mu$。
我们可以把切矢量定义为 $\xi^\mu = \frac{d}{d\tau}$，偏离矢量定义为 $\eta^\mu = \frac{d}{ds}$，它们彼此正交。因为它们正交，所以它们的李括号为零，这意味着 $\nabla_\xi \eta = \nabla_\eta \xi$。如果我们把这个量称为 $B_{\mu\nu} = \nabla_\nu \xi_\mu$，那么 $\nabla_\xi \eta^\mu = B^\mu_\nu \eta^\nu$。这个量 $B_{\mu\nu}$ 衡量了测地线之间的相对行为。
我们可以把 $B_{\mu\nu}$ 分解为一个迹部分、一个对称无迹部分和一个反对称部分：
$$ B_{\mu\nu} = \frac{1}{3}\theta h_{\mu\nu} + \sigma_{\mu\nu} + \omega_{\mu\nu} $$这里，$h_{\mu\nu}$ 是垂直于曲线的空间上的诱导度规。
我们感兴趣的是为膨胀 $\theta$ 写出一个演化方程。$\theta$ 就是 $\nabla_\mu \xi^\mu$。我们要计算 $d\theta/d\tau$。经过一系列的代数运算，利用测地线方程和里奇恒等式，可以得到：
$$ \frac{d\theta}{d\tau} = -R_{\mu\nu}\xi^\mu \xi^\nu - \frac{1}{3}\theta^2 - \sigma_{\mu\nu}\sigma^{\mu\nu} + \omega_{\mu\nu}\omega^{\mu\nu} $$这就是雷乔杜里方程。它只是一个几何方程，告诉我们这些曲线在沿着汇（congruence）行进时彼此之间的行为。
这是针对类时曲线的。如果你处理类光曲线，唯一的变化是这里的系数 $1/3$ 变成了 $1/2$，因为垂直空间是二维的。
现在，我们假设没有扭曲（$\omega=0$），并假设物质满足零能量条件（null energy condition），即对于任何类光矢量 $k^\mu$，我们有 $T_{\mu\nu}k^\mu k^\nu \geq 0$。利用爱因斯坦方程，我们可以把里奇张量 $R_{\mu\nu}$ 换成能量-动量张量 $T_{\mu\nu}$。
$$ R_{\mu\nu}k^\mu k^\nu = 8\pi G (T_{\mu\nu} - \frac{1}{2}g_{\mu\nu}T)k^\mu k^\nu = 8\pi G T_{\mu\nu}k^\mu k^\nu \geq 0 $$这样一来，雷乔杜里方程的整个右边就变成了负的（或零）。
$$ \frac{d\theta}{d\lambda} \leq -\frac{1}{2}\theta^2 $$这里 $\lambda$ 是类光测地线的仿射参数。
对这个不等式积分，可以证明，如果在某一点初始膨胀 $\theta_0$ 是负的，那么 $\theta$ 将在有限的仿射参数 $\lambda \leq 2/|\theta_0|$ 内趋向于负无穷大。这意味着，如果你有一个汇聚的类光测地线汇，它们必然会在有限距离内相交，形成一个焦点（caustic），这就是一个奇点。
Penrose 证明的是，这种 $\theta \to -\infty$ 的奇点不仅仅是测地线相交的普通焦点，而是真正的时空奇点。他的论证非常有力，因为它完全不依赖于球对称性，非常普适。
它表明，一旦你有一个陷阱面——即一个紧致的二维曲面，其内向和外向的类光测地线都在汇聚（$\theta < 0$）——那么你就注定要形成一个时空奇点。
为了从奇点得到一个黑洞，你需要一个额外的假设，那就是宇宙监督猜想（cosmic censorship conjecture），它说的是，为了保持广义相对论的可预测性，这些奇点必须被隐藏在视界之后，不能是裸奇点。
如果黑洞是从引力坍缩普遍形成的，那么最终的平衡态是什么样的？你从一个复杂的、非均匀的坍缩情况开始，它总会形成一个黑洞。那么最终的平衡态是什么样子的呢？
当时令人惊讶的是，Israel 在1967年证明了第一个黑洞唯一性定理。他证明了，如果你寻找一个静态的平衡构型，并且假设爱因斯坦方程和视界的存在，那么你得到的必然是球对称的史瓦西黑洞。之后，这个定理被推广到稳态情况，证明最终状态必须是克尔（Kerr）黑洞。
这是一个非常强的结果，因为它意味着坍缩物质的所有初始信息——所有的多极矩等等——都发生了什么？它们在坍缩过程中以引力波的形式被辐射掉了，最终只剩下不能被辐射掉的量，也就是质量、角动量和电荷。
这个事实——黑洞解是唯一的，完全由质量、角动量和电荷等少数几个参数决定——被称为无毛定理（no-hair theorems）。Wheeler 有句名言：“黑洞没有毛发”。这种想法，即你从一个一般的构型开始，它坍缩成一个黑洞，而这个黑洞除了质量和角动量之外，不携带任何关于初始状态的信息，正是开启黑洞热力学思想的源头。你会问，如果我把一杯热茶扔进黑洞，它的熵发生了什么？如果我扔一本书，书里的信息去哪了？似乎唯一发生的事情就是黑洞的质量增加了一点。这是否违反了热力学定律？
Bekenstein 注意到，在黑洞坍缩的过程中，有一个量似乎总是在增加，那就是事件视界的面积。事实上，利用雷乔杜里方程可以证明这一点。假设视界生成元（构成视界的类光测地线）的膨胀在某一点是负的，这将导致面积减小。那么根据我们之前的论证，$\theta$ 会在有限仿射参数内发散到负无穷大，这将导致视界上出现一个裸奇点，这是我们非常不希望看到的。结论：视界的面积总是在增加。这就是霍金面积定理。
鉴于此，很自然地会提出，也许可以把一个与面积成正比的量赋予黑洞，作为它的熵。但这只是一个为了挽救热力ק定律而提出的特别假设，这个“视界面积”并没有任何真正的热力学意义。
这种热力学与黑洞力学之间的相似性在接下来的几年里得到了发展。Bardeen、Carter 和 Hawking 写了一篇名为《黑洞力学四定律》的论文，展示了黑洞的行为与热力学定律之间存在一一对应的类比。
为了讨论这些定律，我们需要引入基灵视界（Killing horizon）和表面引力（surface gravity）的概念。事实证明，对于一个稳态黑洞时空，它的视界是一个基灵视界，即一个基灵矢量 $\xi^\mu$ 与之正交的视界。
这个垂直于视界的基灵矢量满足一个非仿射参数化的测地线方程：
$$ \xi^\nu \nabla_\nu \xi^\mu = \kappa \xi^\mu $$这里的常数 $\kappa$ 被称为表面引力。 表面引力有多种解释：
例如，对于史瓦西黑洞，可以计算出 $\kappa = 1/(4GM)$。
现在我们可以陈述黑洞力学四定律了。
第零定律： 对于一个稳态黑洞，其视界上的表面引力 $\kappa$ 是一个常数。这类似于热力学第零定律，即处于热平衡的系统温度处处相等，其中 $\kappa$ 扮演着温度的角色。
第一定律：
$$ \frac{\kappa}{8\pi G} \delta A = \delta M - \Omega_H \delta J + \dots $$这里 $A$ 是视界面积，$M$ 是质量，$\Omega_H$ 是视界的角速度，$J$ 是角动量。这看起来非常像热力学第一定律 $T\delta S = \delta E - \dots$。这个定律的本质是，当你向黑洞扔东西时，时空会根据爱因斯坦方程做出响应。
第二定律： 在任何经典过程中，事件视界的面积永不减小，$\delta A \geq 0$。这就是霍金面积定理。Bekenstein 提出了一个推广的第二定律，即广义熵 $S_{\text{gen}} = S_{\text{matter}} + S_{BH}$ 永不减小，其中他提议黑洞的熵与面积成正比。
第三定律： 不可能通过有限次操作使黑洞达到极值状态（即 $\kappa=0$）。
在70年代中期，人们的讨论是：这些究竟是应用于黑洞的热力学定律，还是仅仅是一个没有任何实际意义的类比？事实上，霍金等人在他们的论文末尾写道，这看起来非常美妙和奇特，但众所周知，黑洞的温度绝对为零，因为它们只吸收而不发射任何东西。
然而，几年后，霍金发现，如果包含量子效应（即 $\hbar$ 很重要），黑洞实际上会发出黑体辐射，其温度恰好是：
$$ T_H = \frac{\hbar \kappa}{2\pi} $$这就是霍金温度。这是黑洞的物理温度。这自动意味着，第一定律中的对应关系是真实的，那个与面积相关的项确实应该被看作是黑洞的真实热力学熵：
$$ S_{BH} = \frac{A}{4G\hbar} $$这就是贝肯斯坦-霍金熵。
这个概念令人困惑，因为它提出了一系列问题：
好的，今天就到这里。抱歉超时了。下次我将讨论全息原理，它与黑洞熵的微观解释问题密切相关。